Giambattista Vasco nacque a Torino il 10 ottobre 1733, secondogenito del conte Giuseppe Nicolò, a un anno di distanza dal fratello maggiore Dalmazzo Francesco. Il padre si era da poco trasferito da Pinerolo, dove era sovrintendente, a Torino, per assumere l'incarico di sovrintendente generale della Real Casa. La famiglia, di antico lignaggio, apparteneva a quella nobiltà monregalese che, pur avendo accettato, come tutta la nobiltà piemontese, il coinvolgimento nella gestione dello stato al servizio della corona, conservava un senso di orgogliosa autonomia.

Avviato in infanzia alla carriera ecclesiastica, Giambattista fu indirizzato agli studi di teologia e filosofia scolastica, dove mise in luce un ingegno precoce e una grande capacità di apprendimento. Seguì poi, presso l'università di Torino, il regolare corso di studi in legge, concludendoli con la laurea ottenuta nel marzo 1750. Tra i suoi maestri Francesco Antonio Chionio, noto giurisdizionalista e anticurialista, destinato per questo ad essere espulso dall’ateneo torinese. Nel dicembre 1951 pronunciò i voti solenni entrando nell'ordine domenicano col nome di Tommaso. Nei tredici anni seguenti la sua vita si svolse nei conventi dell'ordine domenicano.

Nel settembre 1764 fu nominato alla cattedra di teologia scolastica e storia ecclesiastica istituita nella appena riaperta università di Cagliari, dove rimase per due anni. Nell'agosto 1766 rientrò a Genova, per poi trasferirsi in Lombardia, nel convento di S. Domenico a Cremona, in attesa del trasferimento a Milano che avvenne nel 1769. Già durante il soggiorno cremonese strinse rapporti amichevoli con Giambattista Biffi e si avvicinò a Cesare Beccaria. L'impossibilità di ottenere un insegnamento universitario a Milano lo indusse a ritornare a Torino poco dopo l'ascesa al trono di Vittorio Amedeo III. Negli anni ottanta trovò una sua collocazione di primo piano nell'ambiente intellettuale torinese che si veniva rinnovando soprattutto intorno all'Accademia delle Scienze. Alla fine del decennio divenne direttore della «Biblioteca oltremontana». Nel 1791, dopo che il fratello Dalmazzo venne incarcerato per attività sovversiva, tornò a Milano dove rimase fino alla fine del 1794. Dopo la morte del fratello si ritirò a trascorrere gli ultimi anni di vita nella casa del marchese Nicolao Incisa della Rocchetta, al quale era legato da tempo da amicizia profonda. Morì a Rocchetta Tanaro l'11 novembre 1796.